Question

已知函数f（x）=mx²-3x+1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：根据题意，二次函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，有两种情况，一是只有一个在右侧，二是两个都在右侧，分类讨论即可．

解答： 解：（1）当m=0时，f（x）=-3x+1，直线与x轴的交点为（

1

3

，0），即函数的零点为

1

3

，在原点右侧，符合题意；
（2）当m≠0时，∵f（0）=1，∴抛物线过点（0，1）；
若m＜0时，f（x）的开口向下，如图所示；

∴二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧，满足题意；
若m＞0，f（x）的开口向上，如图所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当△=9-4m≥0，且

3

2m

＞0即可，如图所示，解得0＜m≤

9

4

；

综上，m的取值范围是（-∞，

9

4

]．
故答案为：（-∞，

9

4

]．

点评：本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题．