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 (07年四川卷理) (14分)

设函数.

(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;

(Ⅱ)对任意的实数x,证明

(Ⅲ)是否存在,使得an<恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

【答案】

 本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

解析:(Ⅰ)展开式中二项式系数最大的项是第4项,这项是

(Ⅱ)证法一:因

证法二:因

故只需对进行比较。

,有

,得

因为当时,单调递减;当时,单调递增,所以在有极小值

故当时,

从而有,亦即

故有恒成立。

所以,原不等式成立。

(Ⅲ)对,且

又因,故

,从而有成立,

即存在,使得恒成立。

 

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