【题目】已知函数f(x)=(log2x﹣2)(log4x﹣ )
(1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域;
(2)若f(x)>mlog2x对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围.
【答案】
(1)解:f(x)=(log2x﹣2)(log4x﹣ )
= (log2x)2﹣
log2x+1,2≤x≤4
令t=log2x,则y= t2﹣
t+1=
(t﹣
)2﹣
,
∵2≤x≤4,
∴1≤t≤2.
当t= 时,ymin=﹣
,当t=1,或t=2时,ymax=0.
∴函数的值域是[﹣ ,0]
(2)解:令t=log2x,得 t2﹣
t+1>mt对于2≤t≤4恒成立.
∴m< t+
﹣
对于t∈[2,4]恒成立,
设g(t)= t+
﹣
,t∈[2,4],
∴g(t)= t+
﹣
=
(t+
)﹣
,
∵g(t)= t+
﹣
在[2,4]上为增函数,
∴当t=2时,g(t)min=g(2)=0,
∴m<0.
【解析】(1)f(x)=(log2x﹣2)(log4x﹣ )=
(log2x)2﹣
log2x+1,2≤x≤4,令t=log2x,则y=
t2﹣
t+1=
(t﹣
)2﹣
,由此能求出函数的值域.(2)令t=log2x,得
t2﹣
t+1>mt对于2≤t≤4恒成立,从而得到m<
t+
﹣
对于t∈[2,4]恒成立,构造函数g(t)=
t+
﹣
,t∈[2,4],能求出m的取值范围.
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【题目】已知函数的图象在点
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求实数、
的值;
(Ⅱ)求函数在区间
上的最大值;
(Ⅲ)曲线上存在两点
、
,使得
是以坐标原点
为直角顶点的直角三角形,且斜边
的中点在
轴上,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆 的离心率
,左右焦点分别为
是椭圆在第一象限上的一个动点,圆
与
的延长线,
的延长线以及线段
都相切,
为一个切点.
(1)求椭圆方程;
(2)设 ,过
且不垂直于坐标轴的动点直线
交椭圆于
两点,若以
为邻边的平行四边形是菱形,求直线
的方程.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点
的极坐标为
,圆
的参数方程为
(
为参数),(1)直线
过
且与圆
相切,求直线
的极坐标方程;(2)过点
且斜率为
的直线
与圆
交于
,
两点,若
,求实数
的值.
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【题目】已知集合A={x|x2+ax﹣6a2≤0},B={x||x﹣2|<a},
(1)当a=1时,求A∩B和A∪B;
(2)当BA时,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ln(2ax+1)+ ﹣x2﹣2ax(a∈R).
(1)若x=2为f(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(3)当a=﹣ 时,方程f(1﹣x)=
有实根,求实数b的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a=﹣2时,求函数f(x)的极值;
(3)若函数g(x)=f(x)+ 在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
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【题目】选修4-4:参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数,
为倾斜角),以坐标原点O为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
(1)求曲线的直角坐标方程,并 求C的焦点F的直角坐标;
(2)已知点,若直线
与C相交于A,B两点,且
,求
的面积.
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