Question

10．为发展低碳经济，保护环境，某企业在政府部门的支持下，新上了一个“工业废渣处理再利用”的环保项目，经测算，该项目每月的处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：
y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-100{x}^{2}+7740x，x∈[120，160）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-200x+80000，x∈[160，600）}\end{array}\right.$且每处理一吨“工业废渣”，可得到能再利用的产品价值200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当x∈[160，300）时，判断该项日能否获利，如果获利，求出最大利涧；加果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；
（2）求该项目每月出力量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低．

Answer 1

分析 （1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；
（2）确定工业废渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．

解答 解：（1）当x∈[160，300）时，该项目获利为S，则S=200x-（$\frac{1}{2}$x²-200x+80000）=-$\frac{1}{2}$（x-400）²，
∴当x∈[160，300）时，S＜0，因此，该项目不会获利
当x=300时，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；
（2）由题意知，食品残渣的每吨的平均处理成本为$\frac{y}{x}$
①当x∈[120，160）时，$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{3}$x²-100x+7740=$\frac{1}{3}$（x-150）²+240
函数的对称轴为x=$\frac{300}{2}$=150，
∴当x=150时，$\frac{y}{x}$取得最小值240；
②当x∈[160，500）时，$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{2}$x+$\frac{80000}{x}$-200≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{80000}{x}}$-200=400-200=200，
当且仅当$\frac{1}{2}x=\frac{80000}{x}$取等号，即x=400时，函数$\frac{y}{x}$取得最小值200，
∵200＜240
∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

点评 本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数关系式，利用一元二次函数和基本不等式求最值是解决本题的关键．