Question

过抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角的正切值为多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？

Answer 1

解：抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点为（-1，0），设直线MN的方程为y=k(x+1).

由得k²x²+2(k²-2)x+k²=0.

因为直线与抛物线交于M、N两点，所以Δ=4（k²-2）²-4k²·k²＞0，即k²＜1,-1＜k＜1.

设M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂),抛物线的焦点为F（1，0），因为以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点，所以MF⊥NF，所以=-1.即

y₁y₂+x₁x₂-(x₁+x₂)+1=0,

又x₁+x₂=,

x₁x₂=1,y₁²y₂²=16x₁x₂=16且y₁y₂同号.

所以=-6.

解得k²=,所以k=±.

即直线的倾斜角的正切值为±时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.