Question

已知
（1） b=2时，求f（x）的值域；
（2） b≥2时，f（x）的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出f（x），然后根据函数f（x）在[1，2]上的单调性求出f（x）的最小值，将端点代入比较求出函数的最大值，从而求出函数f（x）的值域；
（2）分类讨论：①当2≤b＜4时，②b≥4时，研究函数f（x）在[1，2]上单调上的单调性求出f（x）的最大值为M，最小值为m，最后根据M-m≥4，求出b的取值范围．
解答：解：（1）当b=2时，．
因为f（x）在上单调递减，在上单调递增，（2分）
所以f（x）的最小值为．（4分）
又因为f（1）=f（2）=0，（5分）
所以f（x）的值域为．（6分）
（2）（ⅰ）当2≤b＜4时，因为f（x）在上单调递减，在上单调递增．
所以M=．，得．
即b≥9，与2≤b＜4矛盾．（11分）
（ⅱ）b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减．
M=b-2，，M-m=，即b≥10．（16分）
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．