Question

8．在三棱锥V-ABC中，VC⊥平面ACB，∠ACB=90°，VC=AC=BC=1，则C到平面AVB的距离是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 画出图形，结合图形，得出△VAB是边长为$\sqrt{2}$的等边三角形，利用体积相等求出点C到平面AVB的距离．

解答 解：如图所示，
三棱锥V-ABC中，VC⊥平面ACB，∠ACB=90°，VC=AC=BC=1，
∴△VAB是边长为$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$的等边三角形，
它的面积为$\frac{1}{2}$×${（\sqrt{2}）}^{2}$×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
设点C到平面AVB的距离是h，
则三棱锥的体积是$\frac{1}{3}$•h•S_△VAB=$\frac{1}{3}$•VC•S_△ABC，
解得h=$\frac{1×\frac{1}{2}×1×1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即C到平面AVB的距离是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间中距离关系的应用问题，也考查了等积法的应用问题，是基础题目．