Question

【题目】设函数f（x）=﹣2cosx﹣x+（x+1）ln（x+1），g（x）=k（x2+ ）．其中k≠0．
（1）讨论函数g（x）的单调区间；
（2）若存在x1∈（﹣1，1]，对任意x2∈（ ，2]，使得f（x1）﹣g（x2）＜k﹣6成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：g′（x）=2kx﹣ = ，

当k＞0时，令g′（x）＞0，得x＞1，∴g（x）的递增区间为（1，+∞）．

令g′（x）＜0，得x＜1，x≠0，∴g（x）的递减区间为（﹣∞，0），（0，1）．

k＜0时，同理得g（x）的递增区间为（﹣∞，0），（0，1）；递减区间为（1，+∞）

（2）解：f′（x）=2sinx﹣1+ln（x+1）+1=2sinx+ln（x+1），

∵当x∈（﹣1，1]时，y=2sinx及y=ln（x+1）均为增函数，

∴f′（x）在（﹣1，1]为增函数，又f′（0）=0，

∴当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，1]时，f′（x）＞0，

从而，f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，1]上递增，

∴f（x）在（﹣1，1]上的最小值为f（0）=﹣2．

∵f（x1）﹣g（x2）＜k﹣6，∴f（x1）＜k﹣6+g（x2），

∴f（x）min＜k﹣6+g（x）min，当k＞0时，∴g（x）min=g（1）=3k，

∴4k﹣6＞﹣2，∴k＞1，

当k＜0时，g（x）min=g（2）=5k，∴6k﹣6＞﹣2，∴k＞ ，

又k＜0，∴k＜0时不合题意．

综上，k∈（1，+∞）．

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，问题转化为f（x）min＜k﹣6+g（x）min ， 通过讨论k的范围，结合函数的单调性，确定k的具体范围即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．