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(2012•武昌区模拟)设fk(x)=si
n
2k
 
x+co
s
2k
 
x(x∈R)
,利用三角变换,估计fk(x)在k=l,2,3时的取值情况,对k∈N*时推测fk(x)的取值范围是
1
2k-1
fk(x) ≤1
1
2k-1
fk(x) ≤1
(结果用k表示).
分析:可求得k=l,2,3时fk(x)的取值范围,利用归纳法可求得k∈N*时fk(x)的取值范围.
解答:解:k=1,f1(x)=sin2x+cos2x=1,
k=2,f2(x)=sin4x+cos4x
=(sin2x+cos2x)2-2sin2x•cos2x
=(1-
1
2
sin22x)∈[
1
2
,1],
k=3,f3(x)=sin6x+cos6x
=(sin2x+cos2x)((sin2x+cos2x)2-3sin2x•cos2x)
=(1-
3
4
sin22x)∈[
1
4
,1],

∴k∈N*时fk(x)的取值范围是
1
2k-1
≤fk(x)≤1.
故答案为:
1
2k-1
≤fk(x)≤1.
点评:本题考查三角函数的最值,考查二倍角公式的应用,考查综合分析与应用的能力,属于难题.
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2
5
2
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满意 一般 不满意
A部门 50% 25% 25%
B部门 80% 0 20%
C部门 50% 50% 0
D部门 40% 20% 40%
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