Question

如图，在△OAB中，已知|O

A

| =2，|O

B

| =2

3

，∠AOB=90°，单位圆O与OA交于C，A

D

=λ

B

，λ∈(0，1)，P为单位圆O上的动点．
（1）若O

C

+O

P

=O

D

，求λ的值；
（2）记|P

D

|的最小值为f（λ），求f（λ）的表达式及f（λ）的最小值．

Answer 1

分析：（1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，记∠POB=α，由O

C

+O

P

=O

D

得

cosα+1=2(1-λ) sinα=2 3 λ

，从而可求
法1：（2）由

PD

=（2-2λ-cosα，2

3

λ-sinα）可得f（λ）=

16λ2-8λ+4

-1，结合二次函数的性质可求
法2：（2）|

PD

|≥|

OD

| -|

OP

| =

16λ2-8λ+4

-1|

PD

|当且仅当P在线段OD上等号成立可得f（λ）=

16λ2-8λ+4

-1下同法一

解答：解：（1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系
记∠POB=α则P（cosα，sinα），A（2，0），B（0，2

3

），C（1，0）

OD

=

OA

+λ

AB

=(2(1-λ)，2

3

λ)由OO

C

+O

P

=O

D

得

cosα+1=2(1-λ) sinα=2 3 λ

16λ²-4λ=0⇒λ=0或λ=

1

4

（5分）
（2）法1：

PD

=（2-2λ-cosα，2

3

λ-sinα）
|

PD

|2≥16λ²-8λ+5-

64λ2-32λ+16

∴f（x）=

16λ2-8λ+5- 64λ2-32λ+16

=

16λ2-8λ+4

-1（4分）
∵16λ²-8λ+4=16（λ-

1

4

）²+3≥3
∴f（x）_min=f（

1

4

）=

3

-1（2分）
法2：|

PD

|≥|

OD

| -|

OP

| =

16λ2-8λ+4

-1|

PD

|当且仅当P在线段OD上等号成立
∴f（λ）=

16λ2-8λ+4

-1（4分）
∵16λ²-8λ+4=16（λ-

1

4

）²+3≥3
∴f（x）_min=f（

1

4

）=

3

-1（2分）

点评：本题主要考查了向量与三角函数的综合应用，向量的坐标表示及二次函数的最值的求解，属于综合试题