【题目】已知函数f(x)=x2+ +alnx.
(Ⅰ)若f(x)在区间[2,3]上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设f(x)的导函数f′(x)的图象为曲线C,曲线C上的不同两点A(x1 , y1)、B(x2 , y2)所在直线的斜率为k,求证:当a≤4时,|k|>1.
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【题目】某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师,为调查他们的备课时间情况,通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间,数据如下表(单位:小时):
高一年级 | 7 | 7.5 | 8 | 8.5 | 9 | |||
高二年级 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
高三年级 | 6 | 6.5 | 7 | 8.5 | 11 | 13.5 | 17 | 18.5 |
(1)试估计该校高三年级的教师人数;
(2)从高一年级和高二年级抽出的教师中,各随机选取一人,高一年级选出的人记为甲,高二年级选出的人记为乙,假设所有教师的备课时间相对独立,求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率;
(3)再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师,他们该周的备课时间分别是8、9、10(单位:小时),这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ,表格中的数据平均数记为 ,试判断 与 的大小.(结论不要求证明)
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【题目】已知焦距为2 的椭圆C: + =1(a>b>0)的右顶点为A,直线y= 与椭圆C交于P、Q两点(P在Q的左边),Q在x轴上的射影为B,且四边形ABPQ是平行四边形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M,N.
(i)若直线l过原点且与坐标轴不重合,E是直线3x+3y﹣2=0上一点,且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形,求k的值
(ii)若M是椭圆的左顶点,D是直线MN上一点,且DA⊥AM,点G是x轴上异于点M的点,且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点,求证:点G是定点.
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【题目】已知向量 ,函数 ,若函数f(x)图象的两个相邻的对称轴间的距离为 .
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若△ABC满足f(A)=1,a=3,BC边上的中线长为3,求△ABC的面积.
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【题目】设F1和F2为双曲线 (a>0,b>0)的两个焦点,若F1 , F2 , P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是( )
A.y=± x
B.y=± x
C.y=± x
D.y=± x
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【题目】已知函数f(x)=2 sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3.
(1)当x∈[0, ]时,求f(x)的值域;
(2)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 = , =2+2cos(A+C),求f(B)的值.
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【题目】已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2, .
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
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【题目】下列结论中,正确的有( )
①不存在实数k,使得方程xlnx﹣ x2+k=0有两个不等实根;
②已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a2+b2=2c2 , 则角C的最大值为 ;
③函数y= ln 与y=lntan 是同一函数;
④在椭圆 + =1(a>b>0),左右顶点分别为A,B,若P为椭圆上任意一点(不同于A,B),则直线PA与直线PB斜率之积为定值.
A.①④
B.①③
C.①②
D.②④
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