Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+m在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为3，则m=0．

Answer 1

分析 化简f（x），根据x的取值范围，求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范围，从而求出f（x）的最大值，即得m的值．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+m
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+m
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+1+m
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+m，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
又∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）最大值为1，
∴f（x）_max=2+1+m=3，解得m=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了三角形恒等变换的应用，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．