Question

5．设α，β是方程x²-2mx+2-m=0（x∈R）的两个实根，则α²+β²的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 0
• C． 16
• D． -$\frac{17}{4}$

Answer 1

分析 根据二次方程根与系数的关系，可得α+β=2m，αβ=2-m，且△=4m²+4m-8≥0，即m≤-2，或m≥1，构造函数y=α²+β²=（α+β）²-2αβ=4m²+2m-4，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：∵α，β是方程x²-2mx+2-m=0，
故α+β=2m，αβ=2-m，且△=4m²+4m-8≥0，即m≤-2，或m≥1，
则α²+β²=（α+β）²-2αβ=4m²+2m-4，
由y=4m²+2m-4的图象是开口朝上，且以m=$-\frac{1}{4}$为对称轴的抛物线，
故当m=1时，取最小值2，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．