Question

凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x₁，x₂，…，x_n，有

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

n

≤f（

x1+x2+…xn

n

），已知函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为

 

Answer 1

分析：已知f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，利用凸函数的性质可得：

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

A+B+C

3

，变形得 sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

问题得到解决．

解答：解：∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，
且A、B、C∈（0，π），
∴

f(A)+f(B)+f(C)

3

≤f（

A+B+C

3

）=f（

π

3

），
即sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

=

3 3

2

，
所以sinA+sinB+sinC的最大值为

3 3

2

．

点评：应用凸函数的性质解决具体问题．