Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片ABCD的长为2，宽为1．点A与坐标原点重合，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上．将矩形纸片沿直线折叠一次，使点A落在边CD上，记为点A′．
（1）如果点A′与点D重合，写出折痕所在的直线方程．
（2）如果点A′不与点D重合，且△ADA′的外接圆与直线BC相切，求这个外接圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，折痕所在的直线方程为：y=

1

2

（2）由题意可设点A'的坐标是（a，1），根据题意线段AA′的中点是所求外接圆的圆心，AA′是所求外接圆的直径，从而可求Rt△ADA′外接圆方程，再由直线与圆相切，利用圆心到该直线的距离等于半径可求a的值，进而可求圆的方程

解答：解：（1）由题意可得，折痕所在的直线方程为：y=

1

2

（2）设点A'的坐标是（a，1），则线段A’A的中点的坐标是（

a

2

，

1

2

）
∴AA′=

1+a2

∴Rt△ADA′的外接圆圆心是点O，半径是

1

2

1+a2

∴Rt△ADA′外接圆方程是(x-

a

2

)2+(y-

1

2

) 2=

1+a2

4

∵直线与圆相切
∴点O到BC的距离等腰

1

2

1+a2

∴

1

2

1+a2

=2-

a

2

解得a=

15

8

∴所求圆的方程是(x-

15

16

)2+(y-

1

2

)2=

289

256

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，而直线与圆相切时，常用的处理方法有两个：①联立直线与圆的方程，可得方程有两个相等的实数根②圆心到直线的距离等于半径，方法②可以简化运算．