Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，?BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2a，M，N分别为PC、PB的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：PB⊥DM；
（3）求四棱锥P-ADMN的体积．

Answer 1

分析：（1）欲证MN∥平面PAD，根据线面平行的判定定理知，只须证明MN∥AD，结合中点条件即可证明得；
（2）欲证PB⊥DM，根据线面垂直的性质定理，只须证明PB⊥平面ADMN，也就是要证明AN⊥PB及AD⊥PA，而这此垂直关系的证明较为明显，从而即可证得结论；
（3）由（1）和（2）可得四边形ADMN为直角梯形，且∠DAN=90°，利用梯形的面积公式即可求得四棱锥P-ADMN的底面面积，从而求得其体积．

解答：证明：（1）因为M、N分别为PC、PB的中点，
所以MN∥BC，且MN=

1

2

BC=

a

2

．（1分）
又因为AD∥BC，所以MN∥AD．（2分）
又AD⊥平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（4分）
（2）因为AN为等腰DABP底边PB上的中线，所以AN⊥PB．（5分）
因为PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AD⊥PA．
又因为AD⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB．
又PB?平面PAB，所以AD⊥PB．（6分）
因为AN⊥PB，AD⊥PB，且AN?AD=A，所以PB⊥平面ADMN．（7分）
又DM?平面ADMN，所以PB⊥DM．（8分）
解：（3）由（1）和（2）可得四边形ADMN为直角梯形，且∠DAN=90°，
AD=2a，MN=

a

2

，AN=

2

a，所以S直角梯形ADMN=

5 2

4

a2．（9分）
由（2）PB⊥平面ADMN，得PN为四棱锥P-ADMN的高，且PN=

2

a，（10分）
所以VP-ADMN=

1

3

PN•S直角梯形ADMN=

5

6

a3．（12分）

点评：本小题主要考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质、棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．