【题目】设函数,其中.
(1)讨论的极值点的个数;
(2)若,,求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
分析:(1)求函数的导数,再换元,令,对与分类讨论①②③④,即可得出函数的极值的情况.
(2)由(1)可知:当时,函数在为增函数,又所以满足条件;当时,因换元满足题意需在此区间,即;最后得到的取值范围.
详解:
(Ⅰ),设,则,
当时,,函数在为增函数,无极值点.
当时,,
若时, ,函数在为增函数,无极值点.
若时,设的两个不相等的正实数根,,且,
则
所以当,,单调递增;当,单调递减;
当, ,单调递增.因此此时函数有两个极值点;
同理当时的两个不相等的实数根,,且,
当,,单调递减,当,,单调递增;
所以函数只有一个极值点.
综上可知当时的无极值点;当时有一个极值点;当时,的有两个极值点.
(Ⅱ)对于,
由(Ⅰ)知当时函数在上为增函数,由,所以成立.
若,设的两个不相等的正实数根,,
且,,∴.则若,成立,则要求,
即解得.此时在为增函数,,成立
若当时
令,显然不恒成立.
综上所述,的取值范围是.
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【题目】椭圆()的离心率是,点在短轴上,且。
(1)球椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式。
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
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【题目】袋中有红、黄、白色球各1个,每次任取1个,有放回地抽三次,求基本事件的个数,写出所有基本事件的全集,并计算下列事件的概率:
(1)三次颜色各不相同;
(2)三次颜色不全相同;
(3)三次取出的球无红色或黄色.
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【题目】近年来,网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服务民众,某电商在其官方APP中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计,商品状况和优惠活动评价的2×2列联表如下:
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对商品状况好评 | 100 | 20 | 120 |
对商品状况不满意 | 50 | 30 | 80 |
合计 | 150 | 50 | 200 |
(I)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系?
(Ⅱ)为了回馈用户,公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元,1元,2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后,都可获得一张优惠券,且购物一次获得1元优惠券,2元优惠券的概率分别是,,各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP购物两次,记该用户当天获得的优惠券面额之和为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据
P(K2≥k) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:K2,其中n=a+b+c+d
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