Question

已知α为第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得sinα、cosα是关于x的方程8x²+6mx+2m+1=0的两个根，若存在，求出实数m，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：α为第三象限角，sinα、cosα的值都是负值，由于sinα、cosα是关于x的方程8x²+6mx+2m+1=0的两个根，由上知函数f（x）在（-1，0）上有两个负根，此条件可等价转化为，解此不等式，若有解说明存在，否则不存在
解答：解：由题意α为第三象限角，sinα、cosα的值都是负值，
由于sinα、cosα是关于x的方程8x²+6mx+2m+1=0的两个根，
令函数f（x）=8x²+6mx+2m+1，其对称轴是x=-
由上知函数f（x）在（-1，0）上有两个负根
∴整理得即，无解

综上知，不存在m∈R满足题意．
点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，以及三角函数的有界性，求解的关键是根据根据根与系数的关系以及三角函数的有界性得到参数所满足的不等式，从中解出参数的取值范围来，本题是一个存在性问题，此类问题解题思想一般是假设存在，由此得到方程或不等式，对其求解，若能解出参数的范围，则说明存在，否则说明不存在．本题在转化时易忘记用三角函数的有界性，致使求出的参数范围扩大，转化时一定要注意等价．