Question

9．已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-k有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，1）
• D． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 利用条件得f（x）=x²，x∈[-1，1]，又周期为2，可以画出其在整个定义域上的图象，利用数形结合可得结论．

解答 解：函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
故f（x）是周期为2的周期函数．
当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]时，
∴f（-x）=（-x）²=x²，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）=x²，x∈[-1，0]，
即当x∈[-1，1]时，f（x）=x² ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x-2）²．
作出函数f（x）在区间[-1，3]上的图象，
由g（x）=f（x）-k=0，得f（x）=k，
由于函数g（x）=f（x）-k有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=k有4个交点，
则0＜k＜1，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，利用数形结合是解决本题的关键．