【题目】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）见解析；（2）1:1.
【解析】试题分析：（1）取
的中点
，由等腰三角形及等边三角形的性质得
， 
，再根据线面垂直的判定定理得
平面
，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，结合平面几何知识确定
，再根据锥体的体积公式得所求体积之比为1:1.
试题解析：
（1）取AC的中点O，连结DO，BO.
因为AD=CD，所以AC⊥DO.
又由于
是正三角形，所以AC⊥BO.
从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.
（2）连结EO.
由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.
在
中， 
.
又AB=BD，所以
，故∠DOB=90°.
由题设知
为直角三角形，所以
.
又
是正三角形，且AB=BD，所以
.
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的
，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的
，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.
口算能手系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
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【题目】如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D． 
（1）求证：CE2=CDCB．
（2）若AB=2，BC= 
，求CE与CD的长．
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【题目】甲、乙两运动员进行射击训练．已知他们击中的环数都稳定在
，
，
环，且每次射击击中与否互不影响．甲、乙射击命中环数的概率如下表：
（
）若甲、乙两运动员各射击次，求甲运动员击中环且乙运动员击中环的概率．
（
）若甲射击
次，用
表示这次射击击中环以上（含环）的次数，求随机变量的分布列及期望．
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【题目】对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
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【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BC=AC=CC1 ， 则CN与AM所成角的余弦值等于（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】某单位安排
位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班
天，若
位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（ ）
A. 
种 B. 
种 C. 
种 D. 
种
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【题目】经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝
t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系式；
(2)求日销售额S的最大值．
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