Question

6．过椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$右焦点F的直线l与椭圆交于两点C，D，与直线x=2交于点E．
（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求|CD|；
（Ⅱ）设O为坐标原点，若S_△ODE：S_△OCE=1：3，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的标准方程可知：直线l的方程为y=2x-2，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，由S_△ODE：S_△OCE=1：3，$\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{DE}$，即可求得3x₂-x₁=4，即可求得k的值，求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知，c=1，F（1，0），直线l的方程为y=2x-2．…（1分）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=2x-2\end{array}\right.$，消y得9x²-16x+6=0，…（3分）
由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{16}{9}$，${x_1}{x_2}=\frac{6}{9}$，…（4分）
∴$|CD|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$…（5分）
=$\sqrt{5}\sqrt{{{（\frac{16}{9}）}^2}-4×\frac{6}{9}}=\frac{{10\sqrt{2}}}{9}$．
∴|CD|=$\frac{10\sqrt{2}}{9}$；…（6分）
（Ⅱ）依题意，设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=kx-k\end{array}\right.$，消y得（1+2k²）x²-4k²x+（2k²-2）=0，…（7分）
由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$…①，${x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$…②…（8分）
∵S_△ODE：S_△OCE=1：3，
∴|DE|：|CE|=1：3，$\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{DE}$，
∴2-x₁=3（2-x₂），整理得 3x₂-x₁=4…③…（10分）
由①③得 ${x_1}=\frac{{{k^2}-1}}{{2{k^2}+1}}$，${x_2}=\frac{{3{k^2}+1}}{{2{k^2}+1}}$，…（11分）
代入②，解得k=±1，…（12分）
∴直线l的方程为y=x-1或y=-x+1．…（13分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理与弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．