Question

（2013•湖州二模）设f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=（

1

2

）^x，则函数F（x）=f（x）-sinx在[-π，π]上的零点个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：根据奇函数的性质求得函数f（x）的解析式，本题即求函数f（x）的图象与函数y=sinx的图象在[-π，π]上的交点个数，数形结合可得结论．

解答：解：由于f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=（

1

2

）^x ．则当x＜0时，-x＞0，f（-x）=(

1

2

)-x=2^x=-f（x），∴f（x）=-2^x．
∴f（x）=

( 1 2 )x ， x＞0 - 2x， x＜0 0  ，x=0

．
则函数F（x）=f（x）-sinx在[-π，π]上的零点个数，就是函数f（x）的图象与函数y=sinx的图象在[-π，π]上的交点个数，如图所示：
结合图象可得，函数f（x）的图象与函数y=sinx的图象在[-π，π]上的交点个数为 5，
故选 D．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，求函数的解析式，奇函数的性质，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．