【题目】已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)设,问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形,如果是,求出的值,如果不是,请说明理由;(可利用真命题:“函数的图像关于某直线成轴对称图形”的充要条件为“函数是偶函数”)
(3)设,函数,若函数与的图像有且只有一个公共点,求实数的取值范围.
【答案】(1)当时,是偶函数;当时,是奇函数;当 时,既不是奇函数也不是偶函数;理由见解析;(2)是轴对称图形,;(3)
【解析】
(1)函数,表示出,根据奇函数与偶函数的定义,即可求得的值。
(2)根据函数关于直线成轴对称图形,可得恒成立,代入函数解析式即可求得的值,即可得对称轴方程。
(3)根据函数与的图像有且只有一个公共点,即只有一个实数根。将方程化简,根据换元法转化为一元二次方程问题,再分类讨论方程的二次项系数及根的分布问题,即可求得实数的取值范围。
(1)函数
所以
若函数为偶函数,则,即
化简可得 ,对任意实数成立,所以
若函数为奇函数,则,即
化简可得 ,对任意实数成立,所以
综上所述,当时为偶函数;当时,为奇函数;当时,既不是奇函数,也不是偶函数
(2)函数的图像关于直线成轴对称图形
则为函数向左平移个单位得到的图像,因而关于y轴对称,即为偶函数
所以恒成立
函数
所以
化简可得
因为对于任意实数成立
所以,解得
所以函数是轴对称图形,对称轴为直线
(3)因为
则
函数,且函数与的图像有且只有一个公共点,
所以
化简可得
因为只有一个公共点,所以方程只有一个实数根
令
则方程化为由且只有一个正根
①当时,,不合题意,舍去
②当时,
若,则
解得
当时,代入方程可得,解得,符合题意
当时,代入方程可得,解得,不合题意
若,则
解得
由题意可知,方程有一个正根与一个负根,即
解得
综上所述,实数的取值范围为
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【题目】椭圆:的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设过点 的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,若为直角三角形,求直线的斜率.
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【题目】大豆,古称菽,原产中国,在中国已有五千年栽培历史,皖北多平原地带,黄河故道土地肥沃,适宜种植大豆,2018年春,为响应中国大豆参与世界贸易的竞争,某市农科院积极研究,加大优良品种的培育工作,其中一项基础工作就是研究昼夜温差大小与大豆发芽率之间的关系,为此科研人员分别记录了5天中每天100粒大豆的发芽数,得如下数据表格:
科研人员确定研究方案是:从5组数据中选3组数据求线性回归方程,再用求得的回归方程对剩下的2组数据进行检验.
(Ⅰ)求剩下的2组数据恰是不相邻的2天数据的概率;
(Ⅱ)若选取的是4月5日、6日、7日三天数据,据此求关于的线性同归方程;
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差绝对值均不超过1粒,则认为得到的线性回归方程是可靠的,请检验(Ⅱ)中同归方程是否可靠?
注:,.
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【题目】如图,正三棱柱的各条棱长均相等, 为的中点, 分别是线段和线段上的动点(含端点),且满足.当运动时,下列结论中不正确的是( )
A. 平面平面 B. 三棱锥的体积为定值
C. 可能为直角三角形 D. 平面与平面所成的锐二面角范围为
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【题目】某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量(单位:克)分别在,,,,,中,经统计得频率分布直方图如图所示.
(1)现按分层抽样从质量为,的芒果中随机抽取6个,再从这6个中随机抽取3个,求这3个芒果中恰有1个在内的概率;
(2)某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个,经销商提出如下两种收购方案:
方案:所有芒果以10元/千克收购;
方案:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,高于或等于250克的以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
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【题目】高二年级有男生490人,女生510人,张华按男生、女生进行分层,通过分层随机抽样的方法,得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.
(1)如果张华在各层中按比例分配样本,总样本量为100,那么在男生、女生中分别抽取了多少名?在这种情况下,请估计高二年级全体学生的平均身高.
(2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70,那么在这种情况下,如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理?
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【题目】下列从总体中抽得的样本是否为简单随机样本?
(1)总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r.若或.则舍弃,重新抽取.
(2)总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r,r除以75的余数作为抽中的编号,若余数为0.则抽中75.
(3)总体编号为6001~6876.在1~876范围内产生一个随机整数r,把r+6000作为抽中的编号.
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【题目】某电视节目为选拔出现场录制嘉宾,在众多候选人中随机抽取100名选手,按选手身高分组,得到的频率分布表如图所示.
(Ⅰ)请补充频率分布表中空白位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图;
(Ⅱ)为选拔出舞台嘉宾,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视节目主持人会在上台6人中随机抽取2人表演节目,求第4组至少有一人被抽取的概率?
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【题目】如图(1),平面五边形中,为正三角形,,,.如图(2)将沿折起到的位置,使得平面平面.点为线段的中点.
(1)求证:平面;
(2)若异面直线与所成角的正切值为,,求四棱锥的体积.
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