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正项数列{an}的前n项和为Sn,且2
Sn
=an+1

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
1
anan+1
,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn
1
2
(Ⅰ)∵2
S1
=a1+1

∴a1=1.
∵an>0,2
Sn
=an+1

∴4Sn=(an+1)2.①
∴4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2).②
①-②,得4an=an2+2an-an-12-2an-1
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
而an>0,
∴an-an-1=2(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴an=2n-1.
(Ⅱ)bn=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

Tn=b1+b2++bn=
1
2
(1-
1
3
)+
1
2
(
1
3
-
1
5
)++
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)<
1
2
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设正项数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n2
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
(an+1)(an+1+1)
,求数列{bn}的前n项的和Tn
(3)是否存在自然数m,使得
m-2
4
<Tn
m
5
对一切n∈N*恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*),
(1)求a2以及数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n个数组成一个公差为dn的等差数列.
(ⅰ)求证:
1
d1
+
1
d2
+
1
d3
+…+
1
dn
15
16
(n∈N*);
(ⅱ)求证:在数列{dn}中不存在三项dm,ds,dt成等比数列.(其中m,s,t依次成等比数列)

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科目:高中数学 来源: 题型:

设Sn是正项数列{an}的前n项和且Sn
1
2
an2+
1
2
an-1

(1)求an;  
(2)若bn=2n求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正项数列{an}的前n项和sn=
an2+an
2
bn=(1+
1
2an
)an(n∈N*)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)定理:若函数f(x)在区间D上是凹函数,且f'(x)存在,则当x1>x2(x1,x2∈D)时,总有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<f′(x1)
,请根据上述定理,且已知函数y=xn+1(n∈N*)是(0,+∞)上的凹函数,判断bn与bn+1的大小;
(Ⅲ)求证:
3
2
bn<2

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科目:高中数学 来源: 题型:

设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且Tn=
4-(Sn-p)23
,其中p为常数.
(1)求p的值;
(2)求证:数列{an}为等比数列;
(3)证明:“数列an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1,且y=2”.

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