Question

已知二次函数f(x)=px²+qx(p≠0),其导函数为f'(x)=6x-2,数列{a_n}的前n项和为S_n,点(n,S_n)(n∈N^*)均在函数y=f(x)的图象上.
(1)求数列{a_n}的通项公式.
(2)若c_n=(a_n+2),2b₁+2²b₂+2³b₃+…+2ⁿb_n=c_n,求数列{b_n}的通项公式.

Answer 1

(1) a_n=6n-5   (2) b_n=

【思路点拨】(1)根据二次函数的导函数为f'(x)=6x-2,可求f(x)=3x²-2x,所以S_n=3n²-2n.由S_n可求a_n.
(2)根据a_n求c_n,求出c_n代入2b₁+2²b₂+2³b₃+…+2ⁿb_n=c_n中可求出b_n,注意n=1与n≥2的讨论.
解：(1)已知二次函数f(x)=px²+qx(p≠0),
则f'(x)=2px+q=6x-2,故p=3,q=-2,
所以f(x)=3x²-2x.
点(n,S_n)(n∈N^*)均在函数y=f(x)的图象上,
则S_n=3n²-2n,当n=1时,a₁=S₁=1;
当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=6n-5,
故数列{a_n}的通项公式:a_n=6n-5.
(2)由(1)得,c_n=(a_n+2)=2n-1,
2b₁+2²b₂+2³b₃+…+2ⁿb_n=2n-1,
当n=1时,b₁=,
当n≥2时,2b₁+2²b₂+2³b₃+…+2^n-1b_n-1+2ⁿb_n
=2n-1,
2b₁+2²b₂+2³b₃+…+2^n-1b_n-1=2(n-1)-1,
两式相减得:b_n==2^1-n,
故数列{b_n}的通项公式:b_n=