Question

设函数f（x）=|x-a|-ax，其中a为大于零的常数．
（1）解不等式：f（x）＜0；
（2）若0≤x≤2时，不等式f（x）≥-2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式代入到f（x）＜0得到一个不等式，当x小于等于0时得到不等式不成立；当x大于0时，对不等式的两边分别平方，移项后利用平方差公式分解因式，分a大于1，a等于1，a大于0小于1三种情况分别求出不等式的解集即可；
（2）把f（x）的解析式代入到f（x）≥-2得到一个不等式，当a小于1大于01时，由0≤x≤2，得到ax-2小于等于0，原不等式恒成立；当a大于1时，分两种情况去掉绝对值号，然后把x等于2分别代入到化简的不等式中，得到关于a的两个不等式，分别求出解集与a大于1求出交集即可得到实数a的范围，综上，把两种情况求出的a的范围求出并集即可得到所有满足题意的a的范围．

解答：解：（1）不等式即为|x-a|＜ax，
若x≤0，则ax≤0，故不等式不成立；
若x＞0，不等式化为（x-a）²＜a²x²，即[（1+a）x-a][（1-a）x-a]＜0，
∴当a＞1时，x＞

a

1+a

或x＜

a

1-a

（舍）；
当a=1时，x＞

1

2

；
当0＜a＜1时，

a

1+a

＜x＜

a

1-a

．
综上可得，当a＞1时，不等式解集为{x|x＞

a

1+a

}；
当a=1时，不等式的解集为{x|x＞

1

2

}；当0＜a＜1时，不等式解集为{x|

a

1+a

＜x＜

a

1-a

}；

（2）不等式即为|x-a|≥ax-2，
若0＜a≤1，则当0≤x≤2时有ax-2≤0，故不等式|x-a|≥ax-2恒成立．
若a＞1，则x-a≥ax-2或x-a≤2-ax对任意x∈[0，2]恒成立，
即（1-a）x+2-a≥0或（1+a）x-a-2≤0对任意x∈[0，2]恒成立，
所以（1-a）•2+2-a≥0或（1+a）•2-a-2≤0，
解得a≤

4

3

或a≤0，
∴1＜a≤

4

3

．
综上，实数a的取值范围为（0，

4

3

]．

点评：此题考查了其他不等式的解法，分类讨论的数学思想，是一道综合题．