Question

（1）3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？
（2）有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？
（3）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，使用插空法，把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由组合知识，分析可得答案；
（2）使用倍分法，首先求得总的排法数为A₅⁵，分析可得其中甲在乙的右边与甲在乙的左边的情况数目应该相等，进而计算可得答案；
（3）分析题意，可将原问题转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空，使用插空法，相当于用6块档板插在9个间隔中，计算可得答案．
解答：解：（1）由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，
由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A₄³=24（种）．
（2）∵总的排法数为A₅⁵=120（种），
∴甲在乙的右边的排法数为A₅⁵=60（种）．
（3）根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，
可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；
相当于用6块档板插在9个间隔中，
共有C₉⁶=84种不同方法．
所以名额分配的方法共有84种．
点评：本题考查排列、组合的综合运用，要求学生会一些特殊方法的使用，如插空法、倍分法等；但首先应该会转化为对应问题的模型．