Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且CC₁=C₁E=BC=AB=1．
①求证：D₁E∥平面ACB₁；
②求证：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

Answer 1

解：①连接DC₁，因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且CC₁=C₁E，
所以DD₁∥C₁E且DD₁=C₁E，DD₁EC₁是平行四边形，DC₁∥D₁E．
又因为AD∥B₁C₁且AD=B₁C₁，ADC₁B₁是平行四边形，DC₁∥AB₁，
所以D₁E∥AB₁．
因为AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，
所以D₁E∥平面ACB₁．

②连接AD₁、DA₁，则平面DCB₁即平面A₁B₁CD，由①D₁E∥AB₁，知平面D₁B₁E即平面AD₁EB₁．
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，CD⊥平面ADD₁A₁，
所以CD⊥AD₁．矩形ADD₁A₁中，AD=DD₁，
所以A₁D⊥AD₁，又A₁D∩CD=D，
所以AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，
所以平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD．
分析：①连接DC₁，欲证D₁E∥平面ACB₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证D₁E与平面平面ACB₁内一直线平行，而D₁E∥AB₁，AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，满足定理条件；
②连接AD₁、DA₁，欲证平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD，根据面面垂直的判定定理可知在平面AD₁EB₁内一直线与平面A₁B₁CD垂直，而根据题意可得AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，满足定理条件．
点评：从中可以体会以下几点，一是依据判定定理整体思考、形成思路；二是通过图形变换，包括割、补、视图和射影等，建立试题各要素之间；三是将不规则图形向自己熟悉的规则图形（特别是长方形）转化，将基本空间图形原有的性质与试题条件有机结合，将试题要素“直接（直观）”地联系起来或凸显出来，使问题求解自然而然．