Question

设数列{a_n}的前n项和为Sn，如果

sn

s2n

为常数，则称数列{a_n}为“科比数列”．
（1）等差数列{b_n}的首项为1，公差不为零，若{b_n}是“科比数列”，求{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}的各项都是正数，前n项和为S_n，若C₁³+C₂³+C₃³+…C_n³=S_n²对任意n∈N^*都成立，试推断数列{c_n}是否为“科比数列”？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{b_n}的公差为d（d≠0），

Sn

S2n

=k，因为b₁=1，所以（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．因为对任意正整数n上式恒成立，则

d(4k-1)=0 (2k-1)(2-d)=0

，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由已知，当n=1时，c₁³=S₁²=c₁²．因为c₁＞0，所以c₁=1．当n≥2时，c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²，c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n-1³=S_n-1²．所以c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．由此能推导出数列{c_n}是首项为1，公差为1的等差数列．从而得到数列{c_n}不是“科比数列”．

解答：解：（1）设等差数列{b_n}的公差为d（d≠0），

Sn

S2n

=k，因为b₁=1，
则n+

1

2

n(n-1)d=k[2n+

1

2

•2n(2n-1)d]，
即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．…（4分）
因为对任意正整数n上式恒成立，
则

d(4k-1)=0 (2k-1)(2-d)=0

，
解得

d=2 k= 1 4

．　…（6分）
故数列{b_n}的通项公式是b_n=2n-1．…（7分）
（2）由已知，当n=1时，c₁³=S₁²=c₁²．
因为c₁＞0，所以c₁=1．  …（8分）
当n≥2时，c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²，
c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n-1³=S_n-1²．   
两式相减，得c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．
因为c_n＞0，所以c_n²=S_n+S_n-1=2S_n-c_n．…（10分）
显然c₁=1适合上式，
所以当n≥2时，c_n-1²=2S_n-1-c_n-1．
于是c_n²-c_n-1²=2（S_n-S_n-1）-c_n+c_n-1
=2c_n-c_n+c_n-1=c_n+c_n-1．
因为c_n+c_n-1＞0，则c_n-c_n-1=1，
所以数列{c_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以

Sn

S2n

=

n(n+1)

2n(2n+1)

=

n+1

4n+2

不为常数，
故数列{c_n}不是“科比数列”． …（14分）

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，计算繁琐易出错．解题时要细心，注意培养计算能力．