分析:(1)设等差数列{b
n}的公差为d(d≠0),
=k,因为b
1=1,所以(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意正整数n上式恒成立,则
,由此能求出数列{b
n}的通项公式.
(2)由已知,当n=1时,c
13=S
12=c
12.因为c
1>0,所以c
1=1.当n≥2时,c
13+c
23+c
33+…+c
n3=S
n2,c
13+c
23+c
33+…+c
n-13=S
n-12.所以c
n3=S
n2-S
n-12=(S
n-S
n-1)(S
n+S
n-1)=c
n•(S
n+S
n-1).由此能推导出数列{c
n}是首项为1,公差为1的等差数列.从而得到数列{c
n}不是“科比数列”.
解答:解:(1)设等差数列{b
n}的公差为d(d≠0),
=k,因为b
1=1,
则
n+n(n-1)d=k[2n+•2n(2n-1)d],
即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d.
整理得,(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.…(4分)
因为对任意正整数n上式恒成立,
则
,
解得
. …(6分)
故数列{b
n}的通项公式是b
n=2n-1.…(7分)
(2)由已知,当n=1时,c
13=S
12=c
12.
因为c
1>0,所以c
1=1. …(8分)
当n≥2时,c
13+c
23+c
33+…+c
n3=S
n2,
c
13+c
23+c
33+…+c
n-13=S
n-12.
两式相减,得c
n3=S
n2-S
n-12=(S
n-S
n-1)(S
n+S
n-1)=c
n•(S
n+S
n-1).
因为c
n>0,所以c
n2=S
n+S
n-1=2S
n-c
n.…(10分)
显然c
1=1适合上式,
所以当n≥2时,c
n-12=2S
n-1-c
n-1.
于是c
n2-c
n-12=2(S
n-S
n-1)-c
n+c
n-1
=2c
n-c
n+c
n-1=c
n+c
n-1.
因为c
n+c
n-1>0,则c
n-c
n-1=1,
所以数列{c
n}是首项为1,公差为1的等差数列.
所以
==不为常数,
故数列{c
n}不是“科比数列”. …(14分)
点评:本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理问题,对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,以及运用一般与特殊的关系进行否定,本题有一定的探索性.综合性强,难度大,计算繁琐易出错.解题时要细心,注意培养计算能力.