Question

3．如图所示，已知三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D-AP-C的正弦值．
（3）若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）证明PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，进而证明BC⊥平面PAC，即可证明平面PAC⊥平面ABC；
（2）取AP的中点F，连接DF，则DF∥PB，即DF⊥PA，作DE⊥AC于E，则E为AC的中点，∠DFE为二面角D-AP-C的平面角，利用余弦定理求出cos∠DFE，即可求二面角D-AP-C的正弦值．
（3）若M为PB的中点，利用等体积法求三棱锥M-BCD的体积．

解答 （1）证明：∵△PDB是正三角形，D为AB的中点，
∴△PAD为直角三角形，且∠APB=90°，
∴PA⊥PB
∵PA⊥PC，PC∩PB=P，
∴PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵AC∩BC=C，
∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC．
（2）解：取AP的中点F，连接DF，则DF∥PB，即DF⊥PA，
作DE⊥AC于E，则E为AC的中点，∠DFE为二面角D-AP-C的平面角．
∵BC=4，AB=20，
∴DE=2，DB=PB=10，
∴DF=5，AC=8$\sqrt{6}$，PA=10$\sqrt{3}$，PC=2$\sqrt{21}$，EF=$\frac{1}{2}$PG=$\sqrt{21}$，
由余弦定理可得cos∠DFE=$\frac{25+21-4}{2×5×\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$，
∴二面角D-AP-C的正弦值为$\sqrt{1-\frac{21}{25}}$=$\frac{2}{5}$．
（3）解：∵△PAB中，D为AB的中点，M为PB的中点，
∴DM∥PA，
∵DM?平面PAC，PA?平面PAC，
∴DM∥平面PAC，
∵PA⊥平面PBC，
∴DM⊥平面PBC，
∵DM=5$\sqrt{3}$，S_△BCM=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC•PC$=2$\sqrt{21}$，
∴V_M-BCD=V_D-BCM=$\frac{1}{3}DM•{S}_{△BCM}$=$\frac{1}{3}×5\sqrt{3}×2\sqrt{21}$=10$\sqrt{7}$．

点评 本题考查平面与平面的垂直，考查二面角，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．