Question

对定义在实数集上的函数f（x），若存在实数x₀，使得f（x₀）=x₀，那么称x₀为函数f（x）的一个不动点．
（1）已知函数f（x）=ax²+bx-b（a≠0）有不动点1与-3，求a、b；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax²+bx-b （a≠0）总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）的不动点为1与-3，建立方程组，即可求a，b；
（2）函数f（x）总有两个相异的不动点，等价于方程ax²+（b-1）x-b=0（a≠0）有两个相异实根，利用判别式，即可求实数a的取值范围．

解答：解　（1）∵函数f（x）的不动点为1与-3，
∴

a+b-b=1 9a-3b-b=-3

，∴a=1，b=3．…（6分）
（2）∵函数f（x）总有两个相异的不动点
∴方程ax²+（b-1）x-b=0（a≠0）有两个相异实根，
∴△＞0，即（b-1）²+4ab＞0对b∈R恒成立…（8分）
∞△₁＜0，即（4a-2）²-4＜0…（10分）
∴0＜a＜1．…（12分）

点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键，