Question

【题目】已知椭圆 ，斜率为 的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．
（1）设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；
（2）设F1 ， F2为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限上一点，满足 ，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ①， ②；

①﹣②得： ， ，即 ．

又由中点在椭圆内部得 ，

∴M点的轨迹方程为 ， ；

（2）解：由椭圆的方程可知：F1（﹣ ，0）F2（ ，0），P（x，y）（x＞0，y＞0）， =（﹣ ﹣x，﹣y）， =（ ﹣x，﹣y），

由 =（﹣ ﹣x，﹣y）（ ﹣x，﹣y）=x2﹣3+y2=﹣ ，即x2+y2= ，

由 ，解得： ，则P点坐标为 ，…

设直线l的方程为 ，

，整理得： ，由△＞0得﹣2＜m＜2，

则 ， ，…

， ，

∴ ．…

，

当且仅当m2=4﹣m2，即 时，取等号，

∴△PAB面积的最大值1．

【解析】（1）由由 ①， ②；①﹣②得： ， ，即 ，由M在椭圆内部，则 ，即可求得动点M的轨迹方程；（2）由向量数量积的坐标运算，求得P点坐标，求得直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，根据基本不等式的性质，即可求得△PAB面积的最大值．