Question

（2012•湛江一模）已知函数f（x）的图象是在[a，b]上连续不断的曲线，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)=2sinx(0≤x≤

π

2

)．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）判断f（x）是否为[0，

π

2

]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用新定义，代入计算，可得f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）由题意，f₂（x）-f₁（x）=2sinx，若f（x）是为[0，

π

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]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在[0，

π

2

]上恒成立，且?x0∈[0，

π

2

]，使得2sinx＞（k-1）x成立，构建新函数φ（x）=sinx-x，判断函数在[0，

π

2

]单调递减，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意可得，f1(x)=0，f2(x)=2sinx，x∈[0，

π

2

]．…（4分）
（2）f₂（x）-f₁（x）=2sinx．…（5分）
若f（x）是为[0，

π

2

]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在[0，

π

2

]上恒成立…（8分）
且?x0∈[0，

π

2

]，使得2sinx＞（k-1）x成立．…（9分）
令φ(x)=sinx-x，x∈[0，

π

2

]，则φ′（x）=cosx-1＜0．…（10分）
∴φ（x）=sinx-x在[0，

π

2

]单调递减，
∴φ(x)≤φ(0)=0，x∈[0，

π

2

]，即sinx-x≤0…（12分）
于是2sinx≤2x在[0，

π

2

]恒成立．
又?x0=

π

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，2sinx＞x成立
故存在最小的正整数k=2，使得f（x）是为[0，

π

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]上的“k阶收缩函数”…（14分）

点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生对新问题的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．