Question

F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，直线l过F₁与双曲线的左支交于A、B两点，△ABF₂面积的最小值为________．

Answer 1

15
分析：确定双曲线的焦点坐标，设出AB的方程代入双曲线方程，利用韦达定理表示出△ABF₂面积，再利用导数知识，即可求得△ABF₂面积的最小值
解答：由题意F₁（-3，0），F₂（3，0）
设AB的方程为x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
AB的方程代入双曲线方程，整理可得（5m²-4）y²-30my+25=0
∴y₁+y₂=，y₁y₂=
∴|y₁-y₂|==
∵直线l过F₁与双曲线的左支交于A、B两点，∴y₁y₂＜0，∴5m²-4＜0
∴|y₁-y₂|=
∴△ABF₂面积为×|F₁F₂|×|y₁-y₂|=
令，则，∴==
令y=-5t+，则，∴y=-5t+在[1，）上单调递减，∴0＜y≤4
∴≥15，即△ABF₂面积的最小值为15
故答案为：15．
点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，正确运用韦达定理，进而表示三角形的面积是关键．