Question

如图，在棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B，B₁两点的坐标．
（2）证明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求线AC到面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）根据空间直角坐标系，写成点的坐标．（2）利用线面垂直的判定定理去证明线面垂直．（3）利用等积法求距离．

解答：解：（1）B（a，a，0）B₁（a，a，a）
（2）易证A₁C₁⊥面DBB₁D₁，∴A₁C₁⊥B₁D，同理可证A₁B⊥B₁D，
又A₁C₁∩A₁B=A₁，∴B₁D⊥面A₁BC₁．
（3）∵AC∥A₁C₁，∴AC∥面A₁BC₁
∴线AC到面A₁BC₁的距离即为点A到面A₁BC₁的距离，也就是点B₁到面A₁BC₁的距离，记为h，
在三棱锥B₁-BA₁C₁中有VB1-BA1C1=VB-A1B1C1，
即

1

3

S△A1BC1•h=

1

3

S△A1B1C1•BB1，
∴h=

3 a

3

．

点评：本题主要考查空间线面垂直的判断和直线到平面的距离公式，综合性较强．