Question

设x、y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则

2

a

+

3

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求

2

a

+

3

b

的最小值．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-

a

b

x+

z

b

的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=4 y=6

，即A（4，6）．
此时z=4a+6b=10，
即2a+3b-5=0，
即

2a

5

+

3b

5

=1，
则

2

a

+

3

b

=（

2

a

+

3

b

）（

2a

5

+

3b

5

）=

4

5

+

9

5

+

6b

5a

+

6a

5b

≥

13

5

+2

6b 5a • 6a 5b

=

13

5

+

12

5

=

25

5

=5，
当且仅当

6b

5a

=

6a

5b

，即a=b=1时，取等号，
故

2

a

+

3

b

的最小值为5，
故答案为：5

点评：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．