分析 (I)由抛物线定义可得:|AF|=3+$\frac{p}{2}$=4,解得p.即可得出抛物线E的方程.
(II)由点A(3,m)在抛物线E上,解得m,不妨取A(3,2$\sqrt{3}$),F(1,0),可得直线AF的方程,与抛物线方程联立化为3x2-10x+3=0,解得B($\frac{1}{3}$,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$).又G(-1,0),计算kGA,kGB,可得kGA+kGB=0,∠AGF=∠BGF,即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
解答 (I)解:由抛物线定义可得:|AF|=3+$\frac{p}{2}$=4,解得p=2.
∴抛物线E的方程为y2=4x;
(II)证明:∵点A(3,m)在抛物线E上,
∴m2=4×3,解得m=±2$\sqrt{3}$,不妨取A(3,2$\sqrt{3}$),F(1,0),
∴直线AF的方程:y=$\sqrt{3}$(x-1),
联立抛物线,化为3x2-10x+3=0,解得x=3或$\frac{1}{3}$,B($\frac{1}{3}$,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$).
又G(-1,0),∴kGA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.kGB=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴kGA+kGB=0,
∴∠AGF=∠BGF,∴x轴平分∠AGB,
因此点F到直线GA,GB的距离相等,
∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
点评 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0个 | B. | 1个 | C. | 2个 | D. | 3个 |
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A. | $\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{5}{4}$ | C. | 1 | D. | 2 |
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