Question

4．已知正项等比数列{a_n}满足a₅+a₄-a₃-a₂=8，则a₆+a₇的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 16
• C． 24
• D． 32

Answer 1

分析 可判数列{a_n+a_n+1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a_n+a_n+1}的公比为x，a₂+a₃=a，则x∈（1，+∞），a₄+a₅=ax，结合已知可得a=$\frac{8}{x-1}$，代入可得y=a₆+a₇的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．

解答 解：∵数列{a_n}是各项均为正的等比数列，
∴数列{a_n+a_n+1}也是各项均为正的等比数列，
设数列{a_n+a_n+1}的公比为x，a₂+a₃=a，
则x∈（1，+∞），a₅+a₄=ax，
∴有a₅+a₄-a₃-a₂=ax-a=8，即a=$\frac{8}{x-1}$，
∴y=a₆+a₇=ax²=$\frac{8{x}^{2}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
求导数可得y′=$\frac{16x（x-1）-8{x}^{2}}{（x-1）^{2}}$=$\frac{8x（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$，令y′＞0可得x＞2，
故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，
∴当x=2时，y=a₆+a₇取最小值：32．
故选：D．

点评 本题考查等比数列的性质，涉及导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，属中档题．