【题目】已知椭圆的离心率为,、分别为椭圆的左、右顶点,点满足.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线经过点且与交于不同的两点、,试问:在轴上是否存在点,使得直线 与直线的斜率的和为定值?若存在,请求出点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2) ,定值为1.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由可得,再根据离心率求得,由此可得,故可得椭圆的方程.(Ⅱ)由题意可得直线的斜率存在,设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程,求出直线 与直线的斜率,结合根与系数的关系可得
,根据此式的特点可得当时,为定值.
试题解析:
(Ⅰ)依题意得、,,
∴,
解得.
∵,
∴,
∴,
故椭圆的方程为.
(Ⅱ)假设存在满足条件的点.
当直线与轴垂直时,它与椭圆只有一个交点,不满足题意.
因此直线的斜率存在,设直线的方程为,
由消去整理得
,
设、,
则,,
∵
,
∴要使对任意实数,为定值,则只有,
此时.
故在轴上存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值.
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【题目】已知函数 若f(x1)=f(x2),且x1<x2,关于下列命题:(1)f(x1)>f(﹣x2);(2)f(x2)>f(﹣x1);(3)f(x1)>f(﹣x1);(4)f(x2)>f(﹣x2).正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计,表示第天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
5 | 8 | 8 | 10 | 14 | 15 | 17 |
(Ⅰ)经过进一步统计分析,发现与具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(Ⅱ)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取元购物券;抽中“二等奖”可领取元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为,获得“二等”的概率为.现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望.
参考公式:,,.
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【题目】从某工厂的一个车间抽取某种产品50件,产品尺寸(单位:)落在各个小组的频数分布如下表:
数据分组 | |||||||
频数 | 3 | 8 | 9 | 12 | 10 | 5 | 3 |
(1)根据频数分布表,求该产品尺寸落在的概率;
(2)求这50件产品尺寸的样本平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据产品的频数分布,求出产品尺寸中位数的估计值.
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【题目】如图,已知椭圆: ,其左右焦点为、,过点的直线交椭圆于, 两点,线段的中点为, 的中垂线与轴和轴分别交于、两点,且、、构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)记的面积为, (为原点)的面积为,试问:是否存在直线,使得?说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为,,为椭圆的左、右焦点,为椭圆上的任意一点,的面积的最大值为1,、为椭圆上任意两个关于轴对称的点,直线与轴的交点为,直线交椭圆于另一点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:直线过定点.
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