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15.不等式2+log0.5(5-x)+log2$\frac{1}{x}$>0的解集是(  )
A.(0,+∞)B.(-∞,5)C.(0,1)∪(4,5)D.空集

分析 先根据换底公式化为同底数的,再根据对数的运算性质化简,利用对数函数的单调性得到不等式组,解得即可.

解答 解:log2$\frac{1}{x}$=$\frac{lo{g}_{0.5}{x}^{-1}}{lo{g}_{0.5}0.{5}^{-1}}$=log0.5x,
∵2+log0.5(5-x)+log2$\frac{1}{x}$>0,
∴log0.5(5-x)+log0.5x>-2=log0.50.5-2
∴log0.5(5-x)x>log0.54
∴$\left\{\begin{array}{l}{5-x>0}\\{x>0}\\{x(5-x)<4}\end{array}\right.$,
解得0<x<1,或4<x<5,
故选:C.

点评 本题考查了对数的运算性质,以及对数函数的单调性,不等组的解法,属于中档题.

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