Question

有一组数据：x₁，x₂，…，x_n（x₁＜x₂＜…＜x_n）的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11．   
（1）求出第一个数x₁关于n的表达式及第n个数x_n关于n的表达式．
（2）若x₁，x₂，…，x_n都是正整数，试求第n个数x_n的最大值，并举出满足题目要求且x_n取到最大值的一组数据．

Answer 1

分析：（1）根据所给的三个关于平均数的条件，写出关于数据之间的关系，把三个式子之间相加相减，得到要求的结果．
（2）由于x₁是正整数，故 x₁=11-n≥1，推出1≤n≤10，故x_n=n+9≤19，得到当n=10时，x₁=1，x₁₀=19，x₂+x₃+…+x₉=80，写出结果．

解答：解：（1）依条件得：

x1+x2+…+xn=10n         (1) x1+x2+…+xn-1=9(n-1)  (2) x2+x3+…+xn=11(n-1)     (3)

由（1）-（2）得：x_n=n+9，
又由（1）-（3）
得x₁=11-n
（2）由于x₁是正整数，故 x₁=11-n≥1，
⇒1≤n≤10，故x_n=n+9≤19
当n=10时，x₁=1，x₁₀=19，x₂+x₃+…+x₉=80，
此时，x₂=6，x₃=7，x₄=8，x₅=9，x₆=11，x₇=12，x₈=13，x₉=14．

点评：本题考查一组数据的特点，从平均数入手来解题，本题解题的关键是判断出数据之间的关系，这里可以看做是一个数列的应用，本题是一个中档题目．