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在△ABC中,已知AC=
1
2
AB,CM是∠ACB的平分线,△AMC的外接圆交BC边于点N,求证:BN=2AM.
考点:与圆有关的比例线段
专题:证明题,立体几何
分析:因为CM是∠ACB的平分线,由内角平分线定理,可得
AC
BC
=
AM
BM
,再由圆的切割线定理,可得BM•BA=BN•BC,整理,即可得证.
解答: 证明:如图,在△ABC中,因为CM是∠ACB的平分线,
所以
AC
BC
=
AM
BM

又AC=
1
2
AB,所以
AB
AC
=
2AM
BM
 ①
因为BA与BC是圆O过同一点B的弦,
所以,BM•BA=BN•BC,即
AB
BC
=
NB
BM

由①、②可知 
2AM
BM
=
BN
BM

所以BN=2AM.
点评:本题考查内角平分线定理和圆的切割线定理及运用,考查推理能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法不正确的是(  )
A、命题“对?x∈R,都有x2≥0”的否定为“?x0∈R,使得x02<0”
B、“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件
C、“若tanα≠
3
,则α≠
π
3
”是真命题
D、甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题p是“甲考试及格”,q是“乙考试及格”,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为(¬p)∧(¬q)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,
2
2
)
,则f(16)=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示[1000,1500))

(Ⅰ)求居民收入在[1500,2500)的频率;
(Ⅱ)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在[2500,3000)的这段应抽取多少人?

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆C1:(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=1与圆C2:x2+y2=1,在下列说法中:
①对于任意的θ,圆C1与圆C2始终相切;
②对于任意的θ,圆C1与圆C2始终有四条公切线;
③直线l:2(m+3)x+3(m+2)y-(2m+5)=0(m∈R)与圆C2一定相交于两个不同的点;
④P,Q分别为圆C1与圆C2上的动点,则|PQ|的最大值为4.
其中正确命题的序号为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

教育部,体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛,深入地开展全国亿万大,中学生阳光体育运动,为此,某校学生会对高二年级2014年9月与10月这两个月内参加体育运动的情况进行统计,随机抽取了100名学生作为样本,得到这100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数,根据此数据作出了如下的频数和频率的统计表和 频率分布直方图:
(I)求a,p的值,并补全频率分布直方图;
(Ⅱ)根据上述数据和直方图,试估计运动时间在[25,55]小时的学生体育运动的平均时间;
分组运动时间
(小时)
频数频率
1[25,30)200.2
2[30,35) ap
3[35,40)200.2
4[40,45)150.15
5[45,50)100.10
6[50,55]50.05

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科目:高中数学 来源: 题型:

某房地产开发商在其开发的一个小区前面建了一个弓形景观湖,如图,该弓形所在的圆是以AB为直径的圆,已知AB=300m,CD与AB平行且它们之间的距离为50
2
m,开发商计划从A点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥与地面和湖面均平行),为了使小区居民可以充分的欣赏湖景,所以要将湖面上的景观桥PQ的长度设计到最长.
(1)记∠AOP=2θ,试用θ表示线段PQ;
(2)求PQ的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,M(4,t)(t>0)为抛物线C上的点,且|MF|=5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程和点M的坐标;
(Ⅱ)过点M引出斜率分别为k1,k2的两直线l1,l2,l1与抛物线C的另一交点为A,l2与抛物线C的另一交点为B,记直线AB的斜率为k3
(ⅰ)若k1+k2=0,试求k3的值;
(ⅱ)证明:
1
k1
+
1
k2
-
1
k3
为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

执行如图所示的程序框图,输出s的值等于(  )
A、98B、100
C、2450D、2550

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