Question

如图，BC是东西方向长为2km的公路，现考虑在点C的正北  方向的点A处建一仓库，设AC=xkm，并在AB上选择一点F，在△ABC内建造边长为ykm的正方形中转站EFGH，其中边HG在公路BC上，且AE=AC．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求正方形中转站EFGH面积的最大值及此时x的值．

Answer 1

分析：（1）延长FE，交AC于D，显然DF∥BC，则Rt△ADF∽Rt△ACB，利用AE=AC=x，求得DE，于是可得方程，然后解方程即可，
（2）由第（1）得y关于x的函数解析式，变形后利用基本不等式得当x=

2

x

时，即可求出正方形中转站EFGH面积的最大值的最大值．

解答：解：（1）如图，延长FE，交AC于D，
∵DF∥BC，
∴Rt△ADF∽Rt△ACB，
∴AE=AC=X，知：DE=

x2-(x-y)2

=

2xy-y2

，
∴

x-y

x

=

2xy-y2 +y

2

⇒2x-2y-xy=x

2xy-y2

，
两边平方，并整理得（x²+2x+2）y²-（x³+2x²+4x）y+2x²=0，
解得：y=

2x

x2+2x+2

（另一解y=x舍去）．
答：y关于x的函数解析式为y=

2x

x2+2x+2

．

（2）由第（1）题得y=

2x

x2+2x+2

=

2

x+ 2 x +2

≤

2

2 2 +2

当x=

2

x

，即x=

2

时，y有最大值=

2

2 2 +2

=

2

-1，
∴当x=

2

时，正方形中转站EFGH面积的最大值最大值为（

2

-1）²=3-2

2

．

点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正方形的性质等多个知识点，有一定的拔高难度．