Question

已知函数．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足，，求证：对一切正整数n≥1都有＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）知：，由此能求出．
（2）由b_n+1=（1+b_n）²•，知b_n+1=b_n（b_n+1），故=，由此利用裂项求法能够证明对一切正整数n≥1都有＜2．
解答：（1）解：∵，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），
∴，…1分
=，…..3分
=1，…5分
∴{}是以为首项，1为公差的等差数列，
即，
∴．…6分
（2）证明：由已知得b_n+1=（1+b_n）²•，
∴b_n+1=b_n（b_n+1），显然b_n∈（0，+∞），…7分
∴=====，…9分
∴
=（）+（）+…+（）
=
=2-＜2．…11分
所以，对一切正整数n≥1都有＜2．…12分
点评：本题考查数列的通项公式的求法和不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．