Question

已知点P是椭圆

x2

16

+

y2

8

=1（x≠0，y≠0）上的动点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上一点，且

F1M

•

MP

=0，则|

OM

|的取值范围是

(0，2

2

)

．

Answer 1

分析：延长PF₂、F₁M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=

1

2

||PF₁|-|PF₂||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF₁|-|PF₂||=

2

|x₀|，利用椭圆上点横坐标的范围结合已知数据即可算出|

OM

|的取值范围．

解答：解：如图，延长PF₂、F₁M，交与N点，连接OM，
∵PM是∠F₁PF₂平分线，且

F1M

•

MP

=0可得F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M为F₁F₂中点，
∵O为F₁F₂中点，M为F₁N中点
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

||PN|-|PF₂||=

1

2

||PF₁|-|PF₂||
设P点坐标为（x₀，y₀）
∵在椭圆

x2

16

+

y2

8

=1中，离心率e=

c

a

=

2

2

由圆锥曲线的统一定义，得|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀+a-ex₀|=|2ex₀|=

2

|x₀|
∵P点在椭圆

x2

16

+

y2

8

=1上，∴|x₀|∈[0，4]，
又∵x≠0，y≠0，可得|x₀|∈（0，4），∴|OM|∈(0，2

2

)
故答案为：(0，2

2

)

点评：本题求两点间的距离的取值范围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．