分析 (Ⅰ)利用等差数列以及正弦定理以及已知条件,通过两角和的余弦函数以及余弦定理求cos(B+C)的值;
(Ⅱ)利用第一问的结果,通过${S_{△ABC}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$,即可求c的值.
解答 (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵sinA,sinC,sinB成等差数列,∴sinA+sinB=2sinC,(1分)
由正弦定理得a+b=2c,(3分)
又a=2b,可得$b=\frac{2}{3}c$,(4分)]
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{\frac{4}{9}{c^2}+{c^2}-\frac{16}{9}{c^2}}}{{2×\frac{2}{3}{c^2}}}=-\frac{1}{4}$,(6分)
∵A+B+C=π,∴B+C=π-A,
∴$cos(B+C)=cos(π-A)=-cosA=\frac{1}{4}$.(8分)
(Ⅱ)由$cosA=-\frac{1}{4}$,得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$,(9分)
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{c^2}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}$,(10分)
∴$\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$,解得$c=4\sqrt{2}$.(12分)
点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,两角和的三角函数,考查计算能力.
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A. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | -$\frac{1}{2}$ |
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A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
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A. | 30° | B. | 45° | C. | 120° | D. | 135° |
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A. | (x-1)2+(y-1)2=1 | B. | (x+1)2+(y-1)2=1 | C. | (x-1)2+(y+1)2=1 | D. | (x+1)2+(y+1)2=1 |
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