Question

15．已知奇函数f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-2+a}{{2}^{x}+1}$．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）若对任意t∈（-1，0]，不等式f（t²-mt+7）+f（t²+5t-m）＞0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质：可得f（0）=0，解得a=1，再由定义即可得到结论；
（2）运用指数函数的值域，结合不等式的性质，可得所求值域；
（3）由题意可得f（t²-mt+7）＞-f（t²+5t-m）=f（-t²-5t+m），由f（x）在R上递增，可得t²-mt+7＞-t²-5t+m，即有m（t+1）＜2t²+5t+7，设出t+1=k，由参数分离和基本不等式可得最小值，进而得到m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-2+a}{{2}^{x}+1}$=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
由f（x）为奇函数，可得f（0）=0，
即有a-1=0，解得a=1，
即有f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
由f（-x）+f（x）=2-$\frac{2}{1+{2}^{-x}}$-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=2-$\frac{2（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=0，
可得f（x）为奇函数．
故a=1；
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，由2^x＞0，可得2^x+1＞1，
即有$\frac{2}{{2}^{x}+1}$∈（0，2），
即有f（x）的值域为（-1，1）；
（3）对任意t∈（-1，0]，不等式f（t²-mt+7）+f（t²+5t-m）＞0恒成立，
即为f（t²-mt+7）＞-f（t²+5t-m）=f（-t²-5t+m），
由f（x）在R上递增，可得t²-mt+7＞-t²-5t+m，
即有m（t+1）＜2t²+5t+7，
令t+1=k（0＜k≤1），即有m＜$\frac{2（k-1）^{2}+5（k-1）+7}{k}$，
化简可得m＜2k+$\frac{4}{k}$+1在0＜k≤1恒成立，
由2k+$\frac{4}{k}$+1的导数为2-$\frac{4}{{k}^{2}}$＜0在0＜k≤1成立，
即有2k+$\frac{4}{k}$+1在（0，1]递减，可得k=1即t=0时，
取得最小值，且为7．则m＜7．故m的取值范围是（-∞，7）．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用：求参数的值，考查函数的值域的求法，注意运用指数函数的值域，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于中档题．