Question

17．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA的距离最大值为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h₁，h₂，h₃，由正四面体ABCD的棱长为9，求出每个面面积S=$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，高h=3$\sqrt{6}$，由正四面体ABCD的体积得到h₁+h₂+h₃=3$\sqrt{6}$，再由满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，能求出点P到面DCA的距离最大值．

解答 解：设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h₁，h₂，h₃，
∵正四面体ABCD的棱长为9，每个面面积为S=$\frac{1}{2}×9×9×sin60°$=$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，
取BC中点E，连结AE．过S作SO⊥面ABC，垂足为O，
则AO=$\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}\sqrt{81-\frac{81}{4}}$=3$\sqrt{3}$，
∴高h=SO=$\sqrt{81-27}$=3$\sqrt{6}$，
∴正四面体ABCD的体积V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}$S（h₁+h₂+h₃），
∴h₁+h₂+h₃=3$\sqrt{6}$，
∵满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，
∴h₁+h₂+h₃=3h₂=3$\sqrt{6}$，∴${h}_{2}=\sqrt{6}$，h₂+h₃=2$\sqrt{6}$，
∴点P到面DCA的距离最大值为2$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查点到平面的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、正四面体性质等知识点的合理运用．