Question

已知

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，若f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|2．
（I）求函数f（x）的单调减区间；   
（II）若x[-

π

3

，

π

4

]，求函数f（x）的最大值和最小值．
（文）已知

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

），若f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；    
（Ⅱ）若x∈[-

π

3

，

π

4

]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（理）（I）由题意可得：f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|2=

a

•

b

-2

a

•

b

=-

a

•

b

-2=-cos2x-2，所以可得函数的单调减区间．
（II）因为-

π

3

≤x≤

π

4

，所以-

2π

3

≤2x≤

π

2

，即-

1

2

≤cos2x≤1，进而得到函数的最值．
（文）（Ⅰ）由题意可得：f(x)=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos(

3

2

x+

x

2

)=cos2x，所以可得函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

，

π

4

]∴2x∈[-

2π

3

，

π

2

]所以-

1

2

≤cos2x≤1⇒f(x)∈[-

1

2

，1]，即可得到函数的最值．

解答：（理）解：（I）因为

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)．
所以|

a

|=1，|

b

|=1，
所以f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|2=

a

•

b

-2

a

•

b

=-

a

•

b

-2

=-(cos 3x 2 cos x 2 -sin 3x 2 sin x 2 )-2 =-cos2x-2 令-π+2kπ≤2x≤2kπ 得- π 2 +kπ≤x≤kπ

所以函数f(x)的单调减区间是[-

π

2

+kπ，kπ]，k∈Z．
（II）因为-

π

3

≤x≤

π

4

，所以-

2π

3

≤2x≤

π

2

，即-

1

2

≤cos2x≤1．
所以当x=-

π

3

时，f(x)max=-

3

2

；当x=0时，f(x)min=-3．
（文）解：（Ⅰ）因为

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)且f(x)=

a

•

b

所以f(x)=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos(

3

2

x+

x

2

)=cos2x，
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

，

π

4

]
∴2x∈[-

2π

3

，

π

2

]
所以-

1

2

≤cos2x≤1⇒f(x)∈[-

1

2

，1]，
因此，函数f（x）的最大值为1，最小值为-

1

2

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量的有关运算，以及三角函数的有关性质．