Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos（2x-

5π

3

）+sin2x
（1）求函数f（x）的最小正周期和函数在[0，π]上的单调减区间；
（2）若△ABC中，f（

A

2

）=

2

，a=2，b=

6

，求角C．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），可得f（x）的最小正周期为π，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

可得f（x）的递减区间为；
（2）由（1）知f（

A

2

）=

2

sin（A+

π

4

）=

2

，即可求得A的值，由正弦定理可求得B，从而可求C的值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos（2x-

5π

3

）+sin2x
=sin2x•cos

π

6

+cos2x•sin

π

6

+cos2x•cos

5π

3

+sin2x•sin

5π

3

+sin2x
=sin2x+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

）…3分
所以f（x）的最小正周期为π…4分
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

可得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，又0≤x≤π，
所以可得：

π

8

≤x≤

5π

8

所以f（x）的递减区间为：[

π

8

，

5π

8

]…6分
（2）由（1）知f（

A

2

）=

2

sin（A+

π

4

）=

2

，所以sin（A+

π

4

）=1，因为0＜A＜π，
所以A=

π

4

…8分
又∵a=2，b=

6

，所以由正弦定理可得：

a

sin π 4

=

6

sinB

，所以sinB=

3

2

，即B=

π

3

或B=

2π

3

，
所以C=

5π

12

或C=

π

12

…12分

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．